コピー用紙に写真を貼ったものを、さらに原稿台紙に貼り付ける予定です。厚みに問題はありませんか？

厚みは問題ありません。
ですが、原稿台紙に「白地」のイラストや文字を貼り付ける場合、スキャンの光により境目の影が映ってしまう可能性が考えられます（コピー機でコピーを取るときのイメージです）。
貼り付けに使用するパーツの影をできるだけ目立たないようにするには背景を白地のままではなく、色画用紙を貼る等されることをお勧めいたします。